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1、1 引言遞歸程序處理的問(wèn)題可以分成兩類(lèi)：第一類(lèi)是數(shù)學(xué)上的遞歸函數(shù)，要求算得一個(gè)函數(shù)值，例如階乘函數(shù)和Fibonacci函數(shù)；第二類(lèi)問(wèn)題具有遞歸特征，目的可能是求出滿(mǎn)足某種條件的操作序列，例如Hanoi塔和八皇后問(wèn)題。

2、第一類(lèi)問(wèn)題的程序設(shè)計(jì)是簡(jiǎn)單的、機(jī)械的，而第二類(lèi)問(wèn)題則不然，由于涉及面廣，沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)則可循，所以編程過(guò)程往往比較復(fù)雜，而且編得的程序也不大好理解。

(相關(guān)資料圖)

3、究其原因在于，第一類(lèi)問(wèn)題已經(jīng)有了現(xiàn)成的函數(shù)公式，第二類(lèi)則沒(méi)有。

4、如果我們對(duì)于第二類(lèi)問(wèn)題也能寫(xiě)出它的遞歸公式，那么編碼過(guò)程會(huì)大大簡(jiǎn)化，而且還可以改善程序的可讀性。

5、本文將借助兩個(gè)程序?qū)嵗懻撨@種方法。

6、2 公式化方法程序設(shè)計(jì)可以分成兩個(gè)階段：邏輯階段和實(shí)現(xiàn)階段。

7、邏輯階段要確定算法，不必考慮編程語(yǔ)言和實(shí)現(xiàn)環(huán)境。

8、通常算法可以用自然語(yǔ)言、流程圖、NS圖等工具來(lái)表示，對(duì)于第二類(lèi)問(wèn)題能在邏輯階段得出它的遞歸公式，那么至少有這樣幾個(gè)好處：1. 把邏輯階段同實(shí)現(xiàn)階段截然分開(kāi)，大大簡(jiǎn)化程序設(shè)計(jì)。

9、2. 用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)遞歸公式，要比用其他方法設(shè)計(jì)算法要簡(jiǎn)單得多。

10、3. 由于公式是算法的最精確最簡(jiǎn)潔的描述形式，有了遞歸公式，編碼工作就變得異常簡(jiǎn)單，而且程序的可讀性也會(huì)很好。

11、所謂遞歸程序設(shè)計(jì)的公式化方法，首先要把問(wèn)題表示成數(shù)學(xué)意義下的遞歸函數(shù)，那么關(guān)鍵是確定函數(shù)值的意義，盡管問(wèn)題本身未必需要計(jì)算什么函數(shù)值。

12、函數(shù)值的選取可能不是唯一的，但是愈能表現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)愈好。

13、Hanoi塔問(wèn)題要求顯示為把若干個(gè)盤(pán)子從一柱搬到另一柱要采取的動(dòng)作，我們可以把動(dòng)作的個(gè)數(shù)取為函數(shù)值。

14、于是得到有四個(gè)自變量的遞歸函數(shù)h(d，f，t，u)，其意義是以u(píng)柱（using）為緩沖把d個(gè)盤(pán)子（disks）從f柱（from）搬到t柱（to）。

15、容易得到下面的遞歸公式：h(1,f,t,u)=1h(d,f,t,u)= h(d-1,f,u,t)+ h(1,f,t,u)+ h(d-1,u,t,f), 如果d>1其實(shí)際意義非常明顯：搬動(dòng)一個(gè)盤(pán)子只需一個(gè)動(dòng)作；而把f柱上的d個(gè)盤(pán)子從f柱搬到t柱，需要先把上面的d-1個(gè)盤(pán)子從f柱搬到u柱，再把最下面的一個(gè)盤(pán)子從f柱搬到t柱，最后把已在u柱上的d-1盤(pán)子搬到t柱，因此總的動(dòng)作個(gè)數(shù)等于三組動(dòng)作之和。

16、有了遞歸公式，編程就變得極為簡(jiǎn)單。

17、程序的結(jié)構(gòu)是一個(gè)多分支結(jié)構(gòu)，恰好同遞歸公式一一對(duì)應(yīng)，編程幾乎變成了機(jī)械的翻譯。

18、在下面的程序中，遞歸函數(shù)與遞歸公式的差別只有當(dāng)d為1時(shí)不僅要把動(dòng)作個(gè)數(shù)v置為1，同時(shí)還要顯示此動(dòng)作。

19、main(){ int d,v,h(int,int,int,int);printf("disks = ");scanf("%d",&d);v=h(d,1,2,3);printf("%d actions for %d disks!",v,d);}int h(int d,int f,int t,int u){ int i,v;if(d==1){v=1;printf("%d->%d ",f,t);}else v=h(d-1,f,u,t)+h(1,f,t,u)+h(d-1,u,t,f);return v;}此程序的運(yùn)行會(huì)話如下：disks = 31->2 1->3 2->3 1->2 3->1 3->2 1->27 actions for 3 disks!3 例子：八皇后問(wèn)題八皇后問(wèn)題[2]是一個(gè)更有代表性更復(fù)雜的遞歸例題，要求在8×8的國(guó)際象棋棋盤(pán)上擺放8個(gè)皇后，使她們不致互相攻擊。

20、我們采取的算法仍然是從棋盤(pán)第一行開(kāi)始每行放一個(gè)皇后，對(duì)于每一行都從該行的第一列開(kāi)始放置，并判斷它同前面的那些皇后是否互相攻擊，如是就換成下一列，否則繼續(xù)放置下一個(gè)皇后，直至放好8個(gè)皇后。

21、依照這種思想，我們定義一個(gè)有9個(gè)自變量的函數(shù):q（k,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8）其中k表示已放置的皇后個(gè)數(shù)，而ai（此處i<=k）表示第i行上的皇后所在列的列號(hào)，因此這9個(gè)自變量能夠代表求解過(guò)程中任一時(shí)刻的狀態(tài)，而函數(shù)值定義為從此狀態(tài)出發(fā)能得到的解的個(gè)數(shù)。

22、按照這一思想不難得到下面的遞歸公式：q（k,a1,...,ak,0,...0）= 0 如果有0

23、將上面的遞歸公式很容易地翻譯成如下程序：main(){ int a[9],v,q(int,int *);v=q(0,a);printf("There are %d solutions!",v);}int q(int k,int *a){ int i,u,v;for(i=1,u=1;i

24、在q( )中首先計(jì)算ak是否同其前的所有ai相容，若是變量u非0。

25、q( )與遞歸公式嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，呈現(xiàn)出有三個(gè)選擇的分支結(jié)構(gòu)。

26、在u非0且k為8的情況下，置函數(shù)值v為1，并顯示已得到的解。

27、顯然這個(gè)程序編寫(xiě)起來(lái)最為簡(jiǎn)單，而且最好理解。

28、下面給出該程序的交互會(huì)話，為節(jié)省版面只列出92個(gè)解中的4個(gè)：15863724 16837425 ... 83162574 84136275There are 92 solutions!4 結(jié)束語(yǔ)公式化方法是一種簡(jiǎn)單而有效的設(shè)計(jì)思想，它把程序設(shè)計(jì)和程序理解的難點(diǎn)都集中到遞歸公式上。

29、從上面的例子可以看到這種思想能夠簡(jiǎn)化程序設(shè)計(jì)，而且得到的程序顯然好于通常的程序。

30、這種思想有普遍性，至少適用多數(shù)遞歸程序的設(shè)計(jì)。

31、由遞歸公式設(shè)計(jì)出的程序具有標(biāo)準(zhǔn)的分支結(jié)構(gòu)，編寫(xiě)和理解都要簡(jiǎn)單得多。

32、上面的兩個(gè)例題在求得函數(shù)值的同時(shí)，很容易地得到了要求的序列，但對(duì)于一般的問(wèn)題未必總是這樣。

33、筆者曾給出一種伴隨序列法，可以用來(lái)得到某些問(wèn)題（如顯示所有從m個(gè)數(shù)中取n個(gè)數(shù)的組合）要求的序列。

本文到此分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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